Еету Моксунен ранее выступал в юниорских лигах Финляндии, Польше и Нидерландах
23-летний хоккеист начинал карьеру в юниорских командах «Лукко». Всего в чемпионатах Финляндии U16-U20 Моксунен провёл 141 матч, набрав 47 (12+35) очков.
В молодёжном чемпионате Финляндии U20 финн выступал за «Пеликанс», в 35 матчах защитник набрал 1 (0+1) при показателе полезности +3.
В сезоне 2018/19 Еету Моксунен играл в польском «Подхале», занявшем по итогу плей-офф 4-е место в чемпионате – 44 матча, 10 (2+8) очков.
Минувший сезон защитник провёл в нидерландском «Лимбурге», выступающем в БеНеЛиге: там Моксунен отыграл 19 матчей, забросил 1 шайбу и отдал 14 результативных передач.