Еету Моксунен раніше виступав в юніорських лігах Фінляндії, Польщі та Нідерландах
23-річний хокеїст починав кар'єру в юніорських командах «Лукко». Всього в чемпіонатах Фінляндії U16-U20 Моксунов провів 141 матч, набравши 47 (12+35) очок.
У молодіжному чемпіонаті Фінляндії U20 фін виступав за «Пеліканс», в 35 матчах захисник набрав 1 (0+1) при показнику корисності +3.
У сезоні 2018/19 Еету Моксунов грав в польському «Підгалля», який зайняв за підсумками плей-офф 4-е місце в чемпіонаті - 44 матчі, 10 (2+8) очок.
Минулий сезон захисник провів в нідерландському «Лимбурге», що виступає в БеНеЛіге: там Моксунен відіграв 19 матчів, закинув 1 шайбу і віддав 14 результативних передач.